Этот урок переехал по адресу https://github.com/codedokode/pasta/blob/master/db/databases.md . Копия ниже устарела и не будет больше обновляться.
База данных - это хранилище, в которое можно сохранять данные, а позже делать по ним поиск и загружать их. Ну например, на форуме в базе данных может храниться информация о пользователях сайта и написанных ими сообщениях. При просмотре страницы скрипт на сервере ищет в БД сообщения на определенную тему и выводит их на странице. Почти любой интерактивный сайт использует БД.
Конечно, можно попробовать сделать свое хранилище (к примеру, на файлах), но вряд ли оно будет работать так же быстро и надежно, как профессиональная база данных. Хорошая база данных гарантирует отсутствие потерь сохраненных данных, даже если неожиданно отключится питание, отсутствие проблем при одновременной работе нескольких пользователей, позволяет искать информацию по произвольным критериям.