Cheat Sheet: Correlação e Regressão Linear

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1. Correlação Linear

• Objetivo: medir força e direção da relação linear entre duas variáveis $X$ e $Y$ (diagrama de dispersão elíptico).

• Coeficiente de Correlação de Pearson ($r$):

$$ r = \frac{\displaystyle \sum_{i=1}^n (x_i - \bar x)(y_i - \bar y)} {\sqrt{\displaystyle \sum_{i=1}^n (x_i - \bar x)^2 ;\sum_{i=1}^n (y_i - \bar y)^2}} \quad\text{ou, equivalente,}\quad r = \frac{\sum xy - \frac{\sum x,\sum y}{n}} {\sqrt{\Bigl[\sum x^2 - \frac{(\sum x)^2}{n}\Bigr] \Bigl[\sum y^2 - \frac{(\sum y)^2}{n}\Bigr]}} $$

• $n$: número de pares $(x_i,y_i)$

• $\bar x = \frac{\sum x_i}{n}$, $\bar y = \frac{\sum y_i}{n}$

• Intervalo de $r$:

  $$ -1 \le r \le 1 $$

  • $r>0$: correlação direta (positiva)
  • $r<0$: correlação inversa (negativa)
  • $r=0$: sem correlação linear

• Classificação qualitativa:

  | $|r|$ | Grau de Associação | |-----------|---------------------| | 0 | nula | | 0 – 0,3 | fraca | | 0,3 – 0,6 | regular | | 0,6 – 0,9 | forte | | 0,9 – 1,0 | muito forte | | 1,0 | perfeita |

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2. Regressão Linear Simples

• Modelo:

  $$ \hat y = a + b,x $$

  • $a$: intercepto (valor previsto de $y$ quando $x=0$)
  • $b$: coeficiente angular (inclinação)

• Método dos Mínimos Quadrados:
  Minimizar $\displaystyle \sum_{i=1}^n (y_i - \hat y_i)^2$.

• Fórmulas para os coeficientes:

  $$ b = \frac{\displaystyle \sum_{i=1}^n (x_i - \bar x)(y_i - \bar y)} {\displaystyle \sum_{i=1}^n (x_i - \bar x)^2} \quad,\quad a = \bar y - b,\bar x $$

  Equivalente em termos de somatórios:

  $$ b = \frac{\sum xy - \tfrac{\sum x,\sum y}{n}} {\sum x^2 - \tfrac{(\sum x)^2}{n}} \quad,\quad a = \frac{\sum y}{n} - b,\frac{\sum x}{n} $$

• Previsão:
  Para um $x^$, calcula-se $\hat y^ = a + b,x^*$.

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3. Medidas de Ajuste e Erro

• Resíduos:
  $e_i = y_i - \hat y_i$.

• Soma dos Quadrados dos Resíduos (Sr):

  $$ S_r = \sum_{i=1}^n (y_i - \hat y_i)^2 $$

• Soma Total dos Quadrados (St):

  $$ S_t = \sum_{i=1}^n (y_i - \bar y)^2 $$

• Coeficiente de Determinação ($R^2$):

  $$ R^2 = 1 - \frac{S_r}{S_t} \quad(0 \le R^2 \le 1) $$

  • Interpretação: fração da variação total de $Y$ explicada pelo modelo linear.
  • Ex.: $R^2 = 0,90$ significa 90% da variação explicada.

• Erro-padrão da estimativa ($S_{y/x}$):

  $$ S_{y/x} = \sqrt{\frac{S_r}{n-2}} $$

  Indica dispersão dos pontos em torno da reta.

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4. Observações Importantes

• Regressão vs. Interpolação:

  • Regressão: ajusta uma curva que não passa por todos os pontos; usa mínimos quadrados para tendência (ruído nos dados).
  • Interpolação: ajusta uma curva que passa exatamente por cada ponto (dados precisos).

• Assunções da Regressão Linear Simples:

  1. Relação linear entre $X$ e $Y$.
  2. Resíduos com média zero e variância constante.
  3. Independência dos erros.
  4. (Opcional) Normalidade dos resíduos para inferência.

• Interpretação de Sinal e Magnitude de $b$ e $r$:

  • $b>0$ e $r>0$: relação direta.
  • $b<0$ e $r<0$: relação inversa.
  • Magnitude indica intensidade (classificação de $r$).

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Dica de “colão”: use esta estrutura em uma única folha, com seções numeradas, fórmulas destacadas em negrito e uma pequena anotação de como aplicar cada fórmula em exercícios (por exemplo, cole os valores de $\sum x$, $\sum y$, $\sum xy$ etc. e calcule $a$, $b$, $r$, $R^2$ diretamente).

Bom estudo e boa prova!